Tutoriais - Linguagens Formais e Autômatos
Tutoriais
Linguagens Formais e Autômatos

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5. Exercício 05.184

Exercício 05.184

Desenvolva uma expressão regular sobre o alfabeto Σ = {1, 2, 3, 4} que produza a linguagem L = {w | w possui 3243 ou 4413 como prefixo, 1314 ou 3243 como subpalavra e 4131 ou 4332 como sufixo}.

Solução do Exercício

Para a classe de problemas abordado no enunciado do exercício, a elaboração da expressão regular que produza a linguagem L, segue o esquema composto por quatro casos, como segue:

ER = (((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
      ((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
      ((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos)) +
      (sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos))

O primeiro caso considera que não existem sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras e nem entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = ((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos))

ER = ((3243 + 4413) (1 + 2 + 3 + 4)* (1314 + 3243) (1 + 2 + 3 + 4)* (4131 + 4332))

O segundo caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras da linguagem L, como segue:

ER = ((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos))

1. A sobreposição do prefixo 3243 com a subpalavra 3243 resulta na palavra 3243:

ER = (3243 (1 + 2 + 3 + 4)* (4131 + 4332))

2. A sobreposição do prefixo 4413 com a subpalavra 1314 resulta na palavra 441314:

ER = (441314 (1 + 2 + 3 + 4)* (4131 + 4332))

3. A sobreposição do prefixo 4413 com a subpalavra 3243 resulta na palavra 4413243:

ER = (4413243 (1 + 2 + 3 + 4)* (4131 + 4332))

O terceiro caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = ((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos))

1. A sobreposição da subpalavra 1314 com o sufixo 4131 resulta na palavra 1314131:

ER = ((3243 + 4413) (1 + 2 + 3 + 4)* 1314131)

2. A sobreposição da subpalavra 1314 com o sufixo 4332 resulta na palavra 1314332:

ER = ((3243 + 4413) (1 + 2 + 3 + 4)* 1314332)

3. A sobreposição da subpalavra 3243 com o sufixo 4332 resulta na palavra 324332:

ER = ((3243 + 4413) (1 + 2 + 3 + 4)* 324332)

O quarto e último caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos, as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = (sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos)

1. A sobreposição do prefixo/subpalavra 3243 com a sobreposição da subpalavra/sufixo 324332 resulta na palavra 324332:

ER = (324332)

2. A sobreposição do prefixo/subpalavra 441314 com a sobreposição da subpalavra/sufixo 1314131 resulta na palavra 441314131:

ER = (441314131)

3. A sobreposição do prefixo/subpalavra 441314 com a sobreposição da subpalavra/sufixo 1314332 resulta na palavra 441314332:

ER = (441314332)

4. A sobreposição do prefixo/subpalavra 4413243 com a sobreposição da subpalavra/sufixo 324332 resulta na palavra 441324332:

ER = (441324332)

Desta forma, a expressão regular que produza a linguagem L é:

ER = (((3243 + 4413) (1 + 2 + 3 + 4)* (1314 + 3243) (1 + 2 + 3 + 4)* (4131 + 4332)) +
      (3243 (1 + 2 + 3 + 4)* (4131 + 4332)) +
      (441314 (1 + 2 + 3 + 4)* (4131 + 4332)) +
      (4413243 (1 + 2 + 3 + 4)* (4131 + 4332)) +
      ((3243 + 4413) (1 + 2 + 3 + 4)* 1314131) +
      ((3243 + 4413) (1 + 2 + 3 + 4)* 1314332) +
      ((3243 + 4413) (1 + 2 + 3 + 4)* 324332) +
      (324332) +
      (441314131) +
      (441314332) +
      (441324332))

É possível apresentar uma expressão regular mais concisa que produza a linguagem L, agrupando as ocorrências dos casos idênticos numa única expressão, como segue:

ER = (((3243 + 4413) (1 + 2 + 3 + 4)* (1314 + 3243) (1 + 2 + 3 + 4)* (4131 + 4332)) +
      ((3243 + 441314 + 4413243) (1 + 2 + 3 + 4)* (4131 + 4332)) +
      ((3243 + 4413) (1 + 2 + 3 + 4)* (1314131 + 1314332 + 324332)) +
      (324332 + 441314131 + 441314332 + 441324332))